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Synthesis and structure of arene ruthenium(II) benzhydrazone complexes: Antiproliferative activity, apoptosis induction and cell cycle analysis
C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 350 (2012) 343–348
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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I
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Théorie des nombres
Formes modulaires modulo 2 : L’ordre de nilpotence des opérateurs
de Hecke
The nilpotence order of the mod 2 Hecke operators
Jean-Louis Nicolas a , Jean-Pierre Serre b
a
b
CNRS, Université de Lyon, Institut Camille Jordan, Mathématiques, 69622 Villeurbanne cedex, France
Collège de France, 3, rue d’Ulm, 75231 Paris cedex 05, France
i n f o
a r t i c l e
r é s u m é
∞
Soit = m=0 q(2m+1) ∈ F2 [[q]]. Une forme modulaire f mod 2 de niveau 1 est un polynôme en . Si p est un nombre premier > 2, l’opérateur de Hecke T p transforme f en
une forme modulaire T p ( f ) qui est un polynôme en de degré strictement plus petit que
celui de f , de sorte que T p est nilpotent.
L’ordre de nilpotence de f est défini comme le plus petit entier g = g ( f ) tel que, pour
toute famille de g nombres premiers impairs p 1 , p 2 , . . . , p g , on ait T p 1 T p 2 . . . T p g ( f ) = 0.
Historique de l’article :
Reçu et accepté 15 mars 2012
Disponible sur Internet le 5 avril 2012
Présenté par Jean-Pierre Serre
2
Nous montrons dans ce qui suit comment on peut calculer g ( f ) ; on a g ( f ) deg( f )1/2 .
© 2012 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.
a b s t r a c t
∞
Let = m=0 q(2m+1) ∈ F2 [[q]] be the reduction mod 2 of the series. A modular form
f modulo 2 of level 1 is a polynomial in . If p is an odd prime, then the Hecke operator
T p transforms f in a modular form T p ( f ) which is a polynomial in whose degree is
smaller than the degree of f , so that T p is nilpotent.
The order of nilpotence of f is defined as the smallest integer g = g ( f ) such that, for every
family of g odd primes p 1 , p 2 , . . . , p g , the relation T p 1 T p 2 . . . T p g ( f ) = 0 holds. We show
how one can compute explicitly g ( f ); if f is a polynomial of degree d in , one finds that
g ( f ) d1/2 .
© 2012 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.
2
1. Introduction
Soit (q) = q
∞
n
n 24
=
n=1 (1 − q )
∞
τ (n)qn où τ est la fonction de Ramanujan. Soit k un entier ⩾ 0. On écrit k (q) =
∞ (2m+1)2
(mod 2), ce qui
n=k τk (n)q . Les congruences connues sur τ (n) (mod 2) (cf. [5]), montrent que (q ) ≡
m=0 q
∞
n=1
entraîne
n ≡ k
(mod 8)
⇒
τk (n) ≡ 0 (mod 2).
(1)
Une forme modulaire modulo 2 de niveau 1 est un polynôme f () à coefficients dans F2 (cf. par exemple [2,4]) ; nous
l’identifierons à une série formelle en la variable q, à coefficients dans F2 . Nous ne nous intéresserons qu’aux formes
Adresses e-mail : jlnicola@in2p3.fr (J.-L. Nicolas), jpserre691@gmail.com (J.-P. Serre).
URL : http://math.univ-lyon1.fr/~nicolas/ (J.-L. Nicolas).
1631-073X/$ – see front matter © 2012 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.
http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2012.03.013
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paraboliques (celles dont le terme constant est 0). À partir de maintenant (sauf mention expresse du contraire), toutes
les séries considérées sont à coefficients mod 2, et nous nous permettrons d’écrire
= (q) =
∞
q(2m+1) ∈ F2 [[q]].
2
(2)
m =0
2. Préliminaires
2.1. Les F2 -espaces vectoriels F , F1 , F3 , F5 , F7
Soit F le sous-espace de F2 [] engendré par , 3 , 5 , . . . . Compte tenu de (1), on a F = F1 ⊕ F3 ⊕ F5 ⊕ F7 où, pour
i ∈ {1, 3, 5, 7}, Fi a pour base {i , i +8 , i +16 , . . .}.
Puisque 2k (q) = k (q2 ), toute forme parabolique f modulo 2 peut s’écrire comme une somme finie
f =
f s2
s
avec f s ∈ F .
(3)
s⩾0
2.2. Opérateurs de Hecke
Soit f (q) = n⩾0 cn qn une forme modulaire modulo 2 et soit p un nombre premier > 2. L’opérateur de Hecke T p
transforme f en la forme
T p| f =
n
γn q
avec γ (n) =
n⩾0
c ( pn)
si p ne divise pas n,
c ( pn) + c (n/ p )
si p divise n.
(4)
[Nous écrirons parfois T p ( f ) à la place de T p | f .]
Si f est de degré ⩽ k (comme polynôme en ), alors il en est de même de T p | f ; on peut écrire T p |k sous la forme
T p |k =
k
μ j j , avec μ j ∈ F2 .
(5)
j =0
Supposons maintenant k impair. Les formules (1) et (4) entraînent que
j ≡ pk
(mod 8)
⇒
μ j = 0.
En particulier, on a T p (Fi ) ⊂ F j si j ≡ pi (mod 8).
(6)
s
L’opérateur de Hecke T p commute avec les opérations f → f 2 de sorte que, si l’on connaît l’action de T p sur F , par (3),
on la connaît sur toutes les formes paraboliques.
2.3. Nilpotence des opérateurs de Hecke modulo 2
L’une des propriétés essentielles des opérateurs de Hecke modulo 2 est qu’ils sont nilpotents (cf. par exemple [1,3,4]).
Cela implique que, dans (5), le coefficient μk est nul. Par (5) et (6), on a donc pour tout p premier ⩾ 3, et tout k impair
positif,
T p |k =
μ j j , avec μ j ∈ F2 .
j ≡ pk (mod 8)
1⩽ j ⩽k−2
Exemples :
(i) T p | = 0 pour tout p premier > 2.
(ii) Si p ≡ 3 (mod 8), on a T p |3 = ; sinon, T p |3 = 0.
(iii) Si p ≡ 5 (mod 8), on a T p |5 = ; sinon, T p |5 = 0.
(iv) On a :
⎧
0
⎪
⎨ 5
7
T p | =
⎪ 3
⎩
si p ≡ 1 (mod 8) ou si p ≡ −1 (mod 16),
si p ≡ 3 (mod 8),
si p ≡ 5 (mod 8),
si p ≡ 7 (mod 16).
(7)
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2.4. L’ordre de nilpotence
Par définition, l’ordre de nilpotence d’une forme modulaire f ∈ F2 [] est le plus petit entier g = g ( f ) tel que, pour toute
suite de g nombres premiers impairs p 1 , p 2 , . . . , p g , on ait T p 1 T p 2 . . . T p g | f = 0. [Comme les T p commutent entre eux,
l’ordre dans lequel on écrit les T p i n’a pas d’importance. Noter aussi que l’on ne suppose pas que les p i soient distincts.]
Lorsque f = 0, on convient que g ( f ) = −∞.
Nous désignerons par g (k) = g (k ) l’ordre de nilpotence de k . Comme chaque T p abaisse le degré en d’au moins 2
1
.
unités, on a g (k) ⩽ k+
2
Soit p un nombre premier impair ; il résulte de la définition de l’ordre de nilpotence d’une forme modulaire f ∈ F que
l’on a
g ( f ) ⩾ g ( T p | f ) + 1.
(8)
Exemples :
g (0) = −∞,
g
5
g 3 = g 3 + = 2,
g () = 1,
5
5
= g + = g +
3
5
3
= g + + = 2.
(9)
(10)
3. Calcul des T p |k : une récurrence linéaire
Soit p un nombre premier > 2.
Théorème 3.1. Il existe un unique polynôme symétrique F p ( X , Y ) ∈ F2 [ X , Y ],
F p ( X , Y ) = Y p +1 + s 1 ( X ) Y p + · · · + s p ( X ) Y + s p +1 ( X )
(11)
de degré p + 1 tel que
T p k =
p +1
sr () T p k−r
(12)
r =1
pour tout k ⩾ p + 1. De plus, pour 1 ⩽ r ⩽ p + 1, sr ( X ) est une somme de monômes en X dont les degrés sont congrus à pr modulo 8
et sont ⩽ r.
Esquisse de démonstration. On définit les sr (), 1 ⩽ i ⩽ p + 1, comme les fonctions symétriques élémentaires des p + 1
séries
f0 = qp ,
f i = z i q 1/ p ,
i = 1, . . . , p ,
où z est une racine primitive p-ième de l’unité dans une extension finie de F2 . On déduit (12) de la formule : T p |k =
k
i =0 ( f i ) , k = 0, 1, . . . . 2
p
Exemples1 : Pour p = 3 on a
F 3 ( X , Y ) = ( X + Y )4 + X Y = X 4 + X Y + Y 4 .
(13)
Vu (9), cela donne un procédé de calcul des T 3 | ; si t est une indéterminée, on a :
k
∞
T 3 k t k =
k =1
t 3
·
1 + 3 t + 4 t 4
De même, pour p = 5, on a :
F 5 ( X , Y ) = ( X + Y )6 + X Y = X 6 + X 4 Y 2 + X 2 Y 4 + X Y + Y 6
(14)
et
∞
k =1
1
T 5 k t k =
t 5
·
1 + 2 t 2 + 4 t 4 + 5 t 5 + 6 t 6
Une table des polynômes F p pour p ⩽ 257, calculée avec SAGE par Marc Deléglise, se trouve sur le site http://math.univ-lyon1.fr/~nicolas/polHecke.html.
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4. Les opérateurs de Hecke T 3 et T 5
4.1. Les nombres n3 (k), n5 (k) et h(k)
Soit k un nombre entier ⩾ 0. Ecrivons-le sous forme dyadique : k =
n3 (k) =
∞
β2i +1 2i =
i =0
∞
i −1
βi 2 2 ,
n5 (k) =
i =1
i impair
∞
β2i +2 2i =
i =0
∞
i =0 βi 2
∞
i
avec βi = 0 ou 1. Posons :
i −2
βi 2 2 ,
h(k) = n3 (k) + n5 (k).
i =1
i pair
L’entier h(k) est du même ordre de grandeur que k1/2 : si k est impair > 0 on a
1 1/2
3
< h(k) + 1 < k1/2 .
k
2
2
Notons que l’on a pour ⩾ 0
n3 (2 + 1) = n3 (2),
n5 (2 + 1) = n5 (2),
h(2 + 1) = h(2).
Nous appellerons [n3 (k), n5 (k)] le code du nombre k. L’application k → [n3 (k), n5 (k)] est une bijection de l’ensemble des
nombres impairs (resp. pairs) ⩾ 0 sur N2 .
4.2. Relation de domination
Nous utiliserons la relation d’ordre suivante sur l’ensemble des nombres entiers naturels pairs (ou impairs) :
Définition 4.1. Si k et ont même parité, on dit que domine k et on écrit k ≺ ou k si l’on a h(k) < h() ou bien
h(k) = h() et n5 (k) < n5 (). La relation k définie par k ≺ ou k = , est une relation d’ordre total sur l’ensemble des
entiers pairs (resp. impairs) ⩾ 0.
À partir de maintenant, nous écrirons une forme modulaire f ∈ F , f = 0 sous la forme
f = m1 + m2 + · · · + mr
avec m1 m2 · · · mr .
(15)
4.3. La fonction h pour les formes modulaires mod 2
Définition 4.2. Soit f ∈ F .
Si f = 0, on écrit f sous la forme (15). On dit que m1 est l’exposant dominant de f et l’on définit h( f ) par
h( f ) = h(m1 ) = max h(mi ).
1⩽i ⩽r
Si f = 0, on pose h( f ) = −∞.
4.4. Le cas de T 3 | f
Proposition 4.3. Soit f ∈ F , f = 0 et soit m1 son exposant dominant.
(i) On a h( T 3 | f ) ⩽ h( f ) − 1 = h(m1 ) − 1.
(ii) Lorsque n3 (m1 ) ⩾ 1, on a h( T 3 | f ) = h(m1 ) − 1 et l’exposant dominant de T 3 | f a pour code [n3 (m1 ) − 1, n5 (m1 )].
Démonstration. On considère d’abord le cas où f = k . On raisonne alors par récurrence sur k en utilisant les relations
(11), (12) et (13). La démonstration est assez longue et technique. 2
4.5. Le cas de T 5 | f
Proposition 4.4. Soit f ∈ F , f = 0 et soit m1 son exposant dominant.
(i) On a h( T 5 | f ) ⩽ h( f ) − 1 = h(m1 ) − 1.
(ii) Lorsque n5 (m1 ) ⩾ 1, on a h( T 5 | f ) = h(m1 ) − 1 et l’exposant dominant de T 5 | f a pour code [n3 (m1 ), n5 (m1 ) − 1].
Démonstration. Même méthode que pour la proposition 4.3 ; on utilise (14) au lieu de (13).
2
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5. Détermination de l’ordre de nilpotence
Théorème 5.1. Soit f ∈ F , f = 0, que l’on écrit comme en (15).
(i) On a
n (m1 ) n5 (m1 )
T5
| f = .
T 33
(16)
(ii) La valeur de l’ordre de nilpotence g ( f ) (cf. §2.4) est donnée par
g ( f ) = h ( f ) + 1.
(17)
n (m )
n (m )
Démonstration. (i) Soit m l’exposant dominant de ϕ = T 3 3 1 T 5 5 1 | f . En appliquant n3 (m1 ) fois la proposition 4.3(ii) et
n5 (m1 ) fois la proposition 4.4(ii), on voit que m a pour code [0, 0] ; comme m est impair, on a m = 1, d’où ϕ = , ce qui
démontre (16). Notons que (16) implique
g ( f ) ⩾ n3 (m1 ) + n5 (m1 ) + 1 = h(m1 ) + 1 = h( f ) + 1.
(18)
(ii) Soit d = max(m1 , m2 , . . . , mr ) le degré de f ; on va démontrer (17) par récurrence sur le nombre impair d.
Si d = 1, 3 ou 5, (17) résulte de (9) et (10).
Soit d ⩾ 7 et supposons (17) vraie pour toute forme de degré ⩽ d − 2. Pour d ⩾ 7, on a h(d) ⩾ 2 et la définition de
l’exposant dominant entraîne h( f ) = h(m1 ) ⩾ h(d) ⩾ 2. Par (18), on a g ( f ) ⩾ h( f ) + 1 ⩾ 3 ; donc il existe des nombres
premiers impairs p 1 , p 2 , . . . , p s avec s = g ( f ) − 1 ⩾ 2 et
T p 1 T p 2 . . . T p s | f = 0.
(19)
Posons ϕ = T p s | f , et calculons g (ϕ ). De (19), on déduit
T p 1 T p 2 . . . T p s−1 |ϕ = T p 1 T p 2 . . . T p s | f = 0,
ce qui implique g (ϕ ) ⩾ s. Mais (8) entraîne g (ϕ ) = g ( T p | f ) ⩽ g ( f ) − 1 = s. On en déduit
g (ϕ ) = s = g ( f ) − 1 ⩾ 2.
(20)
Observons que (19) et s ⩾ 2 entraînent ϕ = 0. Par (7), le degré de ϕ est ⩽ d − 2 ; on peut donc appliquer à ϕ l’hypothèse
de récurrence, ce qui donne g (ϕ ) = h(ϕ ) + 1. En désignant par j l’exposant dominant de ϕ , avec (20), il vient
g (ϕ ) = h(ϕ ) + 1 = h( j ) + 1 = s ⩾ 2.
(21)
Soit [u , v ] le code de j, avec u ⩾ 0, v ⩾ 0 et u + v = s − 1. En appliquant (i) à ϕ et en posant q1 = q2 = · · · = qu = 3 et
qu +1 = qu +2 = · · · = qu + v = 5, il vient
T q1 T q2 . . . T qs−1 |ϕ = T q1 T q2 . . . T qs−1 T p s | f = .
Posons ψ = T qs−1 | f ; on a
T q1 T q2 . . . T qs−2 T p s |ψ = T q1 T q2 . . . T qs−1 T p s | f = .
Cette formule montre que g (ψ) ⩾ s. Mais (8) entraîne g (ψ) = g ( T qs−1 | f ) ⩽ g ( f ) − 1 = s et g (ψ) = s.
Par (7), le degré de ψ est ⩽ d − 2 et l’hypothèse de récurrence donne g (ψ) = h(ψ) + 1. On a ainsi
g (ψ) = s = g ( f ) − 1 = h(ψ) + 1.
(22)
Par la proposition 4.3(i) lorsque q s−1 = 3, et par la proposition 4.4(i) lorsque q s−1 = 5, on a h( T qs−1 | f ) ⩽ h( f ) − 1, d’où,
par (22),
s − 1 = g ( f ) − 2 = h(ψ) = h( T qs−1 | f ) ⩽ h( f ) − 1
ce qui implique g ( f ) ⩽ h( f ) + 1 ; vu (18), cela entraîne (17).
2
Corollaire 5.2. Soit f ∈ F , f = 0, et soit p un nombre premier tel que p ≡ ±1 (mod 8). Alors, on a
g ( T p | f ) ⩽ g ( f ) − 2.
(23)
Démonstration. On observe que, pour p ≡ ±1 (mod 8), on a h( T p | f ) ≡ h( f ) (mod 2), ce qui, par le théorème 5.1, entraîne
g ( T p | f ) ≡ g ( f ) (mod 2). 2
Corollaire 5.3. Soit f ∈ F , f = 0. Si T 3 | f = T 5 | f = 0, alors f = .
Démonstration. En effet, d’après (i), on a n3 (m1 ) = n5 (m1 ) = 0, d’où m1 = 1 et f = .
2
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J.-L. Nicolas, J.-P. Serre / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 350 (2012) 343–348
Références
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Recherches Mathématiques, 2008, pp. 97–113.
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[4] J.-P. Serre, Valeurs propres des opérateurs de Hecke modulo , Astérisque 24–25 (1975) 109–117.
[5] H.P.F. Swinnerton-Dyer, On -Adic Representations and Congruences for Coefficients of Modular Forms, Lect. Notes, vol. 350, Springer, 1973, pp. 1–55.