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Anticancer activity of two ruthenium(II) polypyridyl complexes toward Hepatocellular carcinoma HepG-2 cells
C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 356 (2018) 903–910
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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I
www.sciencedirect.com
Physique mathématique
Une q-déformation de la transformation de Bargmann
vraie-polyanalytique
A q-deformation of the true-polyanalytic Bargmann transform
Sama Arjika a , Othmane El Moize b , Zouhaïr Mouayn c
a
Department of Mathematics and Computer Sciences, Faculty of Sciences and Technics, University of Agadez, BP 199, Agadez, Niger
Department of Mathematics, Faculty of Sciences, BP 133, Kénitra, Maroc
c
Department of Mathematics, Faculty of Sciences and Technics (M’Ghila), BP 523, Béni Mellal, Maroc
b
i n f o
a r t i c l e
Historique de l’article :
Reçu le 24 octobre 2017
Accepté après révision le 31 mai 2018
Disponible sur Internet le 19 juin 2018
r é s u m é
Nous introduisons une version q-deformée de la transformation de Bargmann vraiepolyanalytique sur C.
© 2018 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.
Présenté par le comité de rédaction
a b s t r a c t
We introduce a q-analog of the true-polyanalytic Bargmann transform on C.
© 2018 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.
1. Introduction et énoncé des résultats
Dans [7], Bargmann avait introduit une transformation bien célèbre, qui applique isométriquement l’espace L 2 (R) sur
l’espace de Fock F(C) des fonctions entières de carré intégrable par rapport à la mesure gaussienne e−z z̄ dλ, où dλ désigne
la mesure de Lebesgue sur C. Étant fortement liée au groupe de Heisenberg, cette transformation peut être vue comme une
transformation de Fourier avec fenêtrage [11]. D’où le rôle important qu’elle joue en traitement du signal et dans l’analyse
harmonique sur l’espace des phases [8].
Il est aussi possible d’interpréter le noyau de cette transformation en termes des états cohérents [20] associés à l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique dont les états quantiques appartiennent à L 2 (R). Plus précisement, un état cohérent est
représenté par une fonction d’onde normalisée que l’on définit à l’aide d’une superposition assez particulière de fonctions
propres de l’hamiltonien. C’est un fait bien connu que les états propres de l’oscillateur harmonique sont donnés par les fonctions d’Hermite. Il se trouve aussi que, dans la superposition de ces états qui définit l’état cohérent z ∈ L 2 (R) indexé par le
nombre z = q + i p appartenant à l’espace des phases C, les coefficients apparaissent (à une conjugaison près) sous la forme
zj
h j ( z) := √ , j = 0, 1, 2, ... ,
j!
Adresses e-mail : rjksama@univ-agadez.edu.ne (S. Arjika), elmoize.othmane@gmail.com (O. El Moize), mouayn@fstbm.ac.ma (Z. Mouayn).
https://doi.org/10.1016/j.crma.2018.05.017
1631-073X/© 2018 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.
(1.1)
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qui n’est autre que celle des éléments de la base de l’espace de Fock F(C). En notant B cette transformation, l’image d’une
fonction arbitraire f ∈ L 2 (R) s’écrit
1
B[ f ]( z) := π− 4
e
√
1
1
− 2 z2 − 2 ξ 2 + 2ξ z
f (ξ ) dξ,
z ∈ C.
(1.2)
R
Par ailleurs, il a été démontré [6] que l’espace F(C) coïncide avec le noyau
˜ ϕ = 0}
A0 (C) := {ϕ ∈ L 2 (C, e−z z̄ dλ),
(1.3)
de l’opérateur différentiel du second ordre
2
˜ := − ∂ + z̄ ∂ .
∂ z∂ z̄
∂ z̄
(1.4)
2
Ce dernier, supposé agir sur l’espace de Hilbert H := L C, e−z z̄ dλ , peut, consécutivement à un entrelacement unitaire
(ground-state transformation), paraître sous la forme de l’opérateur de Schrödinger associé au mouvement projeté sur le plan
R2 d’une particule à spin non nul, chargée et plongée dans un champ magnétique uniforme et normal au plan. Le spectre de
˜ relativement à H est constitué de valeurs propres m := m ∈ Z+ , chacune étant de multiplicité infinie, appelées niveaux
de Landau euclidiens. Notons qu’à chaque valeur propre est associé un espace propre
˜ ϕ = m ϕ }
Am (C) := {ϕ ∈ H,
(1.5)
aussi appelé dans [21] et [1–3] true-polyanalytic Bargmann space, dont une base orthonormale est donnée par les fonctions
(|m− j |)
m∧ j
hm
(m! j !)−1/2 (m ∧ j )!| z||m− j | e−i(m− j )arg (z) Lm∧ j
j ( z ) := (−1)
( z z̄), z ∈ C
(1.6)
(α )
en termes des polynômes de Laguerre L n (.) ([15], p. 47) où m ∧ j = min(m, j ).
Il a donc été naturel de faire jouer aux éléments hm
j ( z) le même rôle qu’aux h j ( z), à savoir celui des coefficients dans une
nouvelle superposition des fonctions propres de l’oscillateur harmonique. Les états cohérents qui en résultaient ont fourni
une transformation de Bargmann généralisée Bm : L 2 (R) → Am (C), ayant pour expression [16] :
1
√
Bm [ f ]( z) = (−1)m (2m m! π)− 2
e
√
1
1
− 2 z 2 − 2 ξ 2 + 2ξ z
Hm ξ −
z + z̄
R
2
f (ξ ) dξ
(1.7)
où H m (.) est le polynôme d’Hermite ([15], p. 59). On trouvera davantage d’informations sur Bm dans [2] et dans les références qui y figurent.
Notons que les coefficients (1.6) se laissent aussi exprimer à l’aide des polynômes d’Hermite complexes à deux dimensions, notés H r ,s ( z, w ), qui ont été introduits par Itô [14] dans le contexte des processus de Markov complexes. Précisément,
(m! j !)1/2 hmj (z) = H m, j (z, z̄), où
H r ,s ( z , w ) =
r ∧s
r
s r −k s−k
(−1)k k!
z
w
,
k
k =0
k
r , s = 0, 1, 2, ... .
(1.8)
Tout récemment, Ismail et Zhang [12] ont introduit une version q-déformée (q ∈ ]0, 1[) des polynômes H r ,s ( z, w ), dont
l’expression est
H r ,s ( z, w |q) =
r ∧s
r
k =0
k
q
s
k
k
(−1)k q 2 (q; q)k zr −k w s−k , z, w ∈ C,
(1.9)
q
avec
n
k
:=
q
(q; q)n
,
(q; q)n−k (q; q)k
n −1
1 − aqk , k = 0, 1, · · · , n.
(a; q)n :=
(1.10)
k =0
Ces polynômes s’écrivent aussi
H r ,s ( z, w |q) = (−1)r ∧s
(q; q)r ∨s r∧s |r −s| −i(r −s)arg (z)
q 2 | z|
e
P r ∧s zw ; q|r −s| |q
(q; q)|r −s|
à l’aide des polynômes de Wall P n (·, a|q) ([15], p. 107), où r ∨ s = max(r , s).
(1.11)
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Ce nouveau matériel nous conduit donc à proposer une version q-déformée de la transformation (1.7). Le noyau d’une
telle transformation sera obtenu en superposant des q-déformées des fonctions d’Hermite à l’aide des q-déformés des coef(z) suivants
ficients hm
j
(−1)m∧ j (q; q)m∨ j q
m,q
h j ( z) :=
m∧ j √
2
(q; q)|m− j |
1−q
|m− j |
| z||m− j | e−i(m− j )arg (z)
qmj (q; q)m (q; q) j
P m∧ j (1 − q) z z̄; q|m− j | |q
(1.12)
que l’on se procure à partir de (1.11) en remplaçant w par z̄ et en normalisant le polynôme obtenu. Et pour s’assurer de la
consistance d’un tel choix de coefficients, il suffira de revenir à la définition du polynôme de Wall
P n (x; a|q) := 2 φ1
−n
q
,0
aq
|q; qx
(1.13)
en termes de la fonction q-hypergéométrique 2 φ1 , dont le comportement ([15], p. 142)
lim 2 φ1
−n
q→1
q ,0
|q; q(1 − q)x
q α +1
=
n!
(α )
(α + 1)n
L n (x)
(1.14)
m,q
fera récupérer le polynôme de Laguerre. Effectivement, un calcul détaillé permet d’aboutir à limq→1 h j
(z) = hmj (z).
À présent, nous choisissons comme q-analogues des états propres de l’oscillateur harmonique les fonctions définies par
√
ϕ
q
(ξ ) :=
j
√
2 ωq ( 2 ξ )
(q; q) j
Hj
1−q
2
ξ |q , j = 0, 1, 2, ... ,
(1.15)
en termes des polynômes q-Hermite continus H n (·|q) ([13], p. 381), où
ωq (u ) :=
√
(q; q)∞ 1 − q
(1 + (2 − u 2 (1 − q))qk + q2k ).
4π 1 − (1 − q)u 2 /4 k≥0
(1.16)
√
√
−
Les fonctions que nous avons considérées dans (1.15) forment un système orthonormal sur l’intervalle Iq :=] √
2 √ 2
, 1−q [.
1−q
C’est-à-dire,
ϕ qj (ξ ) ϕkq (ξ ) dξ = δ jk .
(1.17)
Iq
Cela nous permettra de définir un nouveau état cohérent via la superposition
1
z,m,q := (Nm,q ( z z̄))− 2
m,q
hj
q
( z)ϕ j ,
(1.18)
j ≥0
où Nm,q ( z z̄) est un facteur qui sert à normaliser la fonction (1.18) et que l’on calcule de manière directe. Précisément,
Nm,q ( z z̄) =
q−m (q1−m (1 − q) z z̄; q)m
(q−m (1 − q) z z̄; q)∞
.
(1.19)
Cependant, la condition de finitude de ce facteur contraint la variable d’indexation z à rester dans le domaine
Cq,m := { z ∈ C, (1 − q) z z̄ < qm }
(1.20)
chose à laquelle on aboutit en exigeant à la quantité (q−m (1 − q) z z̄; q)∞ d’être finie. Ainsi, lorsque z parcourt Cq,m , on
obtiendra un ensemble d’états cohérents z,m,q tels que l’intégration par rapport à une mesure convenable des opérateurs
de rang un notés T z,m,q : Hq → Hq et qui sont définis par
T z,m,q [ϕ ] = z,m,q , ϕ z,m,q , ϕ ∈ Hq
donne lieu à l’égalité
T z,m,q dνm,q ( z) = 1Hq .
Cq,m
(1.21)
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Cette dernière traduit la résolution de l’identité 1Hq de l’espace de Hilbert Hq := L 2 (Iq , dξ ), supposé abriter les états
quantiques d’un oscillateur harmonique q-déformé. Au fait, la mesure dans (1.21) s’écrit
dνm,q ( z) = Nm,q ( z z̄) dμq ( z)
(1.22)
avec
dμq ( z) =
qn (q; q)∞
(q; q)n
n ≥0
dμn ( z),
(1.23)
1
dμn ( z) étant la mesure de Lebesgue sur le cercle de rayon ρn = q 2 (1 − q)−1/2 . Sachant que la superposition dans (1.18)
servira, à une racine carrée de Nm,q ( z z̄) multiplicative près, de noyau pour la transformation qu’on se propose de construire,
on aura besoin d’une forme compacte pour la somme dans (1.18). En effet, le formalisme général de la transformation en
état cohérent ([10], pp. 72–76) nous permet de faire correspondre à toute fonction ϕ ∈ Hq la fonction notée Bqm [ϕ ], que
l’on définit par
1
Bqm [ϕ ]( z) := Nm,q ( z z̄) 2 z,m,q , ϕ Hq ,
n
z ∈ Cq,m .
(1.24)
De plus, la résolution de l’identité (1.21) satisfaite par les états cohérents z,m,q rend isométrique la transformation
ϕ −→ Bqm [ϕ ]. En particulier, Bqm applique ϕ qj sur hmj ,q , un fait qui découle de (1.18) et (1.24), mais duquel on peut aussi
s’assurer par un calcul direct (voir Proposition 1.1 ci-dessous). Au niveau des espaces, Bqm envoie Hq sur l’espace de Hilbert,
noté A2 (Cq,m ), que l’on définit par la fermeture dans L 2 (Cq,m , dμq ) du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs
m,q
hj
m,q
(z), j ≥ 0, autrement dit, A2 (Cq,m ) = span h j , j ≥ 0 , dont le noyau reproduisant s’obtient par la formule
K m,q ( z, w ) =
m,q
hj
m,q
( z)h j ( w )
(1.25)
j ≥0
grâce à la théorie générale des noyaux reproduisants [5]. Notons que (1.25) peut aussi s’écrire en termes de la relation de
chevauchement entre deux états cohérents comme suit :
1
K m,q ( z, w ) = Nm,q ( z z̄)Nm,q ( w w̄ ) 2 w ,m,q , z,m,q Hq .
(1.26)
Cependant, établir une formule explicite et compacte pour le noyau reproduisant de telle sorte qu’à la limite q → 1 on
retrouve le noyau reproduisant de l’espace Am (C) dans (1.5) fera l’objet de notre prochain travail. Pour le moment, la
quantité cruciale pour notre construction, la diagonale K m,q ( z, z) = Nm,q ( z z̄), a été obtenue ci-dessus dans (1.19).
À l’aide de ces notations, on est en mesure d’énoncer le résultat suivant.
q
Théorème 1. Pour m ∈ Z+ et q ∈]0, 1[, la transformation issue des états cohérents (1.18) est l’isométrie Bm : Hq −→ A2 (Cq,m ),
définie pour toute fonction f ∈ Hq par
(−1)m
q
Bm [ f ]( z) = √ m
q (q; q)m
1−q
ξ;
2
Qm
Iq
|( z e
i arccos(ξ
1−q
z,
qm
1−q
)
2
1−q
q z̄|q
qm
√
√
2 ωq ( 2ξ ) f (ξ )dξ
(1.27)
1−q
; q)∞ |2
qm
en tout point z ∈ Cq,m où Q m désigne le polynôme d’Al-Salam–Chihara.
Rappelons que les polynômes qui figurent dans (1.27) se définissent à l’aide de la série q-hypergéométrique 3 φ2 comme
suit ([15], p. 80) :
Q m (x; a, b|q) :=
(ab; q)m
am
3 φ2
−m
q
, aeiθ , ae−iθ
|q; q ,
ab, 0
x = cos θ.
q
(1.28)
Définition 1.1. L’isométrie Bm définie par (1.27) est appelée la q-déformée de la transformation de Bargmann vraiepolyanalytique.
q
q
m,q
Proposition 1.1. Pour m ∈ Z+ et q ∈ ]0, 1[ fixés, on a Bm [ϕr ] = hr
, r = 0, 1, 2, ....
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Dans le cas particulier où m = 0, la fonction d’onde de l’état cohérent (1.18) s’écrit
√
√
2 ωq ( 2ξ )
z,0,q (ξ ) =
1
2
eq ( z z̄)
1−
k ≥0
√
1
(1.29)
2 z̄ξ qk (1 − q) + z̄2 q2k (1 − q)
où z ∈ Cq,0 étant fixé et ξ ∈ Iq . Ici, la condition de normalisation impose à la variable d’indexation z de rester dans le
domaine Cq := Cq,0 = { z ∈ C, (1 − q) z z̄ < 1}, qui n’est autre que celui de la convergence de la série
eq (u ) :=
un
,
[n]q !
[n]q ! =
n ≥0
(q; q)n
.
(1 − q)n
(1.30)
D’un autre côté, l’espace A2 (Cq,0 ) n’est autre que l’espace de Arik–Coon [4], que l’on notera A2 (Cq ) et qui désigne le
complété des fonctions holomorphes sur Cq , muni du produit scalaire
ϕ, φ =
ϕ (z)φ(z) dμq (z)
(1.31)
Cq
où dμq étant la mesure donnée ci-dessus par (1.23). Il est bien connu que cette mesure est unique à rendre le système
h j ( z) = ([ j ]q !)−1/2 z j une base orthonormale de l’espace A2 (Cq ). Dans cet espace, l’opérateur d’annulation des bosons se
0,q
présente par un opérateur aux q-différences qui tendra vers l’opérateur de dérivation quand q → 1. À la limite, la mesure
dμq deviendra la mesure gaussienne sur C. Ces précisions étant faites, on peut énoncer ce qui suit.
q
Corollaire 1.1. Pour q ∈ ]0, 1[, une q-déformée de la transformation de Bargmann est l’isométrie B0 : Hq −→ A2 (Cq ), définie pour
toute fonction f ∈ Hq par
Bq0 [ f ]( z) =
⎞
⎛
⎝
1−
k ≥0
Iq
1
√
2zξ qk (1 − q) + z2 q2k (1 − q)
⎠
√
√
2 ωq ( 2ξ ) f (ξ ) dξ
(1.32)
en tout point z ∈ Cq .
Bien entendu, comme il fallait s’y attendre, l’équation (1.32) permet de retrouver la transformation de Bargmann classique
(1.2) lorsqu’on fait tendre q vers 1. Cela se justifie par les limites
lim
q→1
k ≥0
1−
√
√
1
2zξ qk (1 − q) + z2 q2k (1 − q)
1 2
= e 2ξ z− 2 z
(1.33)
et
1 − 1 u2
lim ωq (u ) = √ e 2
2π
(1.34)
q→1
qui furent établies dans ([13], pp. 381–382) avec la notation ω = ṽ.
Remarque 1.1. Dans le cas m = 0, si l’on pose
√
z = 2α , ξ = √
2
1−q
cos θ
(1.35)
et que l’on désigne par φ0 (θ) la fonction telle que
2
(φ0 (θ)) =
√
√
2 ωq
√
2
1−q
cos θ
(1.36)
,
on peut alors s’assurer que l’expression ainsi obtenue à partir de (1.29)
1
(eq (4α ᾱ ))− 2
φ0 (θ)
1
(2α eiθ ; q)∞ (2α e−iθ ; q)∞
(1.37)
−1/2
ne diffère que par le facteur de normalisation N0,q (2α )
de celle des états cohérents que Odake et Sasaki ont construits
à la Glauber pour l’oscillateur harmonique q-déformé ([17], p. 144, Eq. (52)).
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2. Esquisse de démonstration des résultats
q
m,q
Pour établir l’énoncé du Théorème 1, on commence par remplacer les quantités ϕ j (ξ ) et h j ( z) qui interviennent dans
(1.18) par leurs expressions dans (1.12) et (1.15), respectivement. Cela conduit à la sommation suivante :
1 (−1)m∧ j (q ; q )m∨ j q
−2
z,m,q (ξ ) = (Nm,q ( z z̄))
m∧ j √
2
1−q
|m− j |
| z||m− j | e−i(m− j )arg (z)
(q; q)|m− j | qmj (q; q)m (q; q) j
√
√
2 ωq ( 2ξ )
1−q
|m− j |
|q
Hj
ξ |q .
(1 − q) z z̄; q
(q; q) j
2
j ≥0
× P m∧ j
(2.1)
Dorénavant, on ne se s’intéressera qu’à la somme qui apparaît dans (2.1) et qu’on réécrit sous la forme de deux morceaux
S (<∞) ( z, q, m; ξ ) + S (∞) ( z, q, m; ξ ), où
q
S(<∞) ( z, q, m; ξ ) =
−
m
−1
j√
(−1) j (q; q)m q 2
j =0
(q; q)m− j
m
−1
(−1)m (q; q) j q 2
m− j m− j
1−q
m √
(q; q) j −m
j =0
z̄
qmj (q; q)m (q; q) j
1−q
j −m j −m
z
qmj (q; q)m (q; q) j
P j (1 − q) z z̄; qm− j |q
ϕ qj (ξ )
P m (1 − q) z z̄; q j −m |q
ϕ qj (ξ ),
(2.2)
et
√
√
√
m
∞
(−1)m q(2 ) ( z 1 − q)−m
2ωq ( 2ξ )
(q; q) j Y j
S (∞) ( z, q, m; ξ ) =
√
(q; q) j −m
(q; q)m
j =0
H j ( X |q)
× P m ((1 − q) z z̄; q j −m |q)
(q; q) j
avec Y = z
1−q
qm
(2.3)
1−q
ξ . En faisant appel à l’identité ([18], p. 3) :
2
et X =
P n (x; q− N |q) = x N (−1)− N q
(q N +1 ; q)n− N
P n− N (x; q N |q)
(q1− N ; q)n
N ( N +1−2n)
2
(2.4)
que vérifient les pôlynomes de Wall et ce pour les paramètres N = j − m, n = j et x = (1 − q) z z̄, on peut se convaincre que
la somme finie vaut effectivement zéro. Concernant la somme infinie, on réécrit le polynôme de Wall comme suit :
P n (x; q j −n |q) =
∞
1
(q j −n+1 ; q)n
(q−n ; q)r +k
r ,k=0
(qx)r (q j +1 )k
.
(q; q)r (q; q)k
(2.5)
Cette formule peut être déduite de la formule génératrice
+∞
r ,k=0
Pr +k (a, b)
tr
sk
(q; q)r (q; q)k
=
(bs; q)∞
b/a, 0
|
φ
q
;
at
2 1
bs
(as; q)∞
(2.6)
des polynômes de Cauchy définis par Pn (x, y ) := (x − y )(x − qy ) · · · (x − qn−1 y ) et de (1.13), qui exprime les polynômes P n
de Wall en termes de la fonction q-hypergéométrique 2 φ1 . Cela donne
√
√
√
m
∞
(−1)m q(2 ) ( z 1 − q)−m
2ωq ( 2ξ )
Yj
S (∞) ( z, q, m; ξ ) =
√
(q; q) j −m (q j −m+1 ; q)m
(q; q)m
j ,r ,k=0
× (q−m ; q)r +k
r
j +1 k
(q ξ ) (q )
H j ( X |q)
(q; q)r (q; q)k
que l’on ordonne de la manière suivante :
(2.7)
S. Arjika et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 356 (2018) 903–910
909
√
√
√
m
∞
(−1)m q(2 ) ( z 1 − q)−m
2ωq ( 2ξ )
(qξ )r qk
S (∞) ( z, q, m; ξ ) =
(q−m ; q)r +k
√
(q; q)r (q; q)k
(q; q)m
r ,k=0
×
∞
j =0
( Y qk ) j
H j ( X |q)
(q; q) j
(2.8)
afin de pouvoir utiliser la fonction génératrice des polynômes q-Hermite continus ([15], p. 116). Ainsi, l’équation (2.8)
devient
√
√
√
m
(−1)m q(2 ) ( z 1 − q)−m
2 ωq ( 2 ξ )
1
S (∞) ( z, q, m; ξ ) =
√
|(eiθ Y q; q)∞ |2
(q; q)m
∞
∞
(eiθ Y ; q)k (e−iθ Y ; q)k k (q ξ )r −m
×
q
(q ; q)r +k .
(q; q)k
(q; q)r
(2.9)
r =0
k =0
À ce stade, on applique l’identité ([19], p. 2) :
(λ; q)m+n
(q; q)n
n ≥0
tn =
(λ; q)m (λt ; q)∞
,
(λt ; q)m (t ; q)∞
|t | < 1,
|q| < 1,
(2.10)
dans le cas des paramètres λ = q−m et t = qξ . Ce qui nous fait aboutir à
√
√
√
m
(−1)m q(2 ) ( z 1 − q)−m
2ωq ( 2ξ )
(q1−m ξ ; q)∞
S (∞) ( z, q, m; ξ ) =
√
(ξ q; q)∞ |(eiθ Y ; q)∞ |2
(q; q)m
∞
(q−m ; q)k (eiθ Y ; q)k (e−iθ Y ; q)k qk
×
.
(q1−m ξ ; q)k
(q; q)k
(2.11)
k =0
On reconnaît la somme qui figure dans la dernière expression comme étant la série q-hypergéométrique
−m
q
3 φ2
, Y eiθ , Y e−iθ
q
1−q
z̄, 0
qm
|q; q
(2.12)
,
qui, en fait, contient un nombre fini de termes et définit le polynôme d’Al-Salam–Chihara ([15], p. 80) :
Ym
(q1−m ξ ; q)m
Q m( X ; Y , q
1−q
qm
|q).
(2.13)
Enfin, en tenant compte de tous les préfacteurs qui sont apparus lors du calcul dans chacune des étapes précédentes,
on aboutit à une forme compacte de la fonction d’onde de l’état cohérent défini dans (1.18), moyennant le facteur de
normalisation Nm,q ( z) donné dans (1.19), ce qui permet, en partant de (1.24), de conclure le résultat du Théorème.
Pour la preuve de la Proposition 1.1, on commence par écrire la forme explicite des polynômes d’AL-Salam–Chihara Q m :
1−q
ξ;
2
Qm
1−q
z,
qm
1−q
q z̄|q
qm
(Y W ; q)m (q−m ; q)k (Y eiθ , Y e−iθ ; q)k qk
Ym
(Y W ; q)k
(q; q)k
m
=
(2.14)
k =0
avec Y =
1−q
z, W =
qm
Qm
1−q
ξ;
2
|( ze
i arccos(ξ
1−q
q z̄ et cos θ = ξ
qm
1−q
z,
qm
1−q
)
2
1−q
q z̄|q
qm
1−q
(a;q)∞
= X . En utilisant l’identité (a; q)n = (aq
, il vient que
n ;q )
2
∞
(Y W ; q)m
m
=
1−q
; q)∞ |2
qm
Ym
k =0
(q−m ; q)k
qk
.
i
θ
k
2
(Y W ; q)k |(Y e q ; q)∞ | (q; q)k
(2.15)
Comme la quantité |(Y eiθ qk ; q)∞ |−2 permet de faire apparaître la fonction génératrice des polynômes q-Hermite continus,
(2.15) s’écrit aussi
Qm
1−q
ξ;
2
|( ze
i arccos(ξ
1−q
z,
qm
1−q
)
2
1−q
q z̄|q
qm
1−q
; q)∞ |2
qm
(Y W ; q)m (q−m ; q)k qk (qk Y ) j
H j ( X |q).
Ym
(Y W ; q)k (q; q)k
(q; q) j
m
=
k =0
j ≥0
(2.16)
910
S. Arjika et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 356 (2018) 903–910
Ainsi, (1.27) prend la forme
(−1)m
q
Bm [ f ]( z) = √ m
q (q; q)m
(Y W ; q)m (q−m ; q)k qk (qk Y ) j
H j ( X |q)
Ym
(Y W ; q)k (q; q)k
(q; q) j
m
k =0
Iq
×
√
j ≥0
√
2 ωq ( 2ξ ) f (ξ )dξ.
(2.17)
Et on obtient successivement
(−1)m Y −m (Y W ; q)m (q−m ; q)k
(qk Y ) j
ϕrq , ϕ qj Hq
√ m
(Y W ; q)k (q; q)k (q; q) j
q (q; q)m
j ≥0
m
q
q
Bm [ϕr ]( z) =
k =0
(−1)m Y −m (Y W ; q)m (q−m ; q)k qk
(qk Y )r
√ m
(Y W ; q)k (q; q)k
q (q; q)m (q; q)r
k =0
m √
m
2
(−1) (q; q)r q ( 1 − qz)r −m
m,q
=
P m (1 − q) z z̄; qr −m |q = hr ( z).
√
(q; q)r −m qmr (q; q)m (q; q)r
m
=
(2.18)
Notons que l’on a fait usage des identités
n
(a; q)n = (a−1 q1−n ; q)n (−a)n q 2 ,
(a; q)n+k = (a; q)n (aqn ; q)k
et de la relation ([9], p. 260) :
P m (1 − q) z z̄; q
j −m
|q =
(−1)m ((1 − q) z z̄)m (((1 − q) z z̄)−1 ; q)m
m
q 2 (q j −m+1 ; q)m
2 φ1
q−m , 0
q; q j +1 .
(1 − q) z z̄q1−m
(2.19)
On achève avec ceci l’esquisse de démonstration des résultats de cette Note.
Remerciements
Les auteurs remercient le rapporteur pour l’ensemble des suggestions et remarques qui ont contribué notablement à
l’amélioration du contenu de cette Note. Zouhaïr Mouayn tient à remercier l’Institut des hautes etudes scientifiques (IHES)
pour l’appui et l’hospitalité dont il a bénéficié lors d’un séjour en 2017.
Références
[1] L.D. Abreu, Sampling and interpolation in Bargmann–Fock spaces of polyanalytic functions, Appl. Comput. Harmon. Anal. 29 (2010) 287–302.
[2] L.D. Abreu, H.G. Feichtinger, Function spaces of polyanalytic functions, in : Harmonic and Complex Analysis and Its Application, Birkhäuser, 2014,
pp. 1–38.
[3] L.D. Abreu, P. Balazs, M. de Gosson, Z. Mouayn, Discrete coherent states for higher Landau levels, Ann. Phys. 363 (2015) 337–353.
[4] M. Arik, D.D. Coon, Hilbert space of analytic function and generalized coherent states, J. Math. Phys. 17 (4) (1976) 524–527.
[5] N. Aronszajn, Theory of reproducing kernels, Trans. Amer. Math. Soc. 68 (1950) 337–404.
[6] N. Askour, A. Intissar, Z. Mouayn, Espaces de Bargmann généralisés et formules explicites pour leurs noyaux reproduisants, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I
325 (7) (1997) 707–712.
[7] V. Bargmann, On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform, Part I, Commun. Pure Appl. Math. 14 (1961) 174–187.
[8] G.B. Folland, Harmonic Analyse on Phase Space, vol. 122, Princeton University Press, Princeton, NJ, États-Unis, 1989, x+277 p.
[9] G. Gasper, M. Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd ed., Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 96, Cambridge University Press,
Cambridge, Royaume-Uni, 2004.
[10] J.P. Gazeau, Coherent States in Quantum Physics, Wiley-VCH, Weinheim, Allemagne, 2009.
[11] B.C. Hall, Bounds on the Segal–Bargmann transform of Lp functions, J. Fourier Anal. Appl. 7 (6) (2001) 553–569.
[12] M.E.H. Ismail, R. Zhang, On some 2D orthogonal q-polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 369 (10) (2017) 6779–6821.
[13] M.E.H. Ismail, S. Dennis, V. Gérard, The combinatorics of q-Hermite polynomials and the Askey–Wilson integral, Eur. J. Comb. 8 (4) (1987) 379–392.
[14] K. Itô, Complex multiple Wiener integral, Jpn. J. Math. 22 (1952) 63–86.
[15] R. Koekoek, R. Swarttouw, The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and Its q-Analogues, Delft University of Technology, Delft,
Pays-Bas, 1998.
[16] Z. Mouayn, Coherent state transforms attached to generalized Bargmann spaces on the complex plane, Math. Nachr. 284 (14–15) (2011) 1948–1954.
[17] S. Odake, R. Sasaki, q-oscillator from the q-Hermite polynomial, Phys. Lett. B 663 (2008) 141–145.
[18] G. Samuel Moreno, M. García-Caballero Esther, Non-standard orthogonality for the little q-Laguerre polynomials, Appl. Math. Lett. 22 (2009) 1745–1749.
[19] H.M. Srivastava, A.K. Agarwal, Generating functions for a class of q-polynomials, DM-426-IR, septembre 1986.
[20] S. Twareq Ali, J.-P. Antoine, J.-P. Gazeau, Coherent States, Wavelets and Their Generalizations, second edition, Springer Science+Business Media, New
York, 2014.
[21] N.L. Vasilevski, Poly-Fock spaces, differential operators and related topics, Oper. Theory, Adv. Appl. 117 (2000) 371–386.